Salah satu metode yang bisa digunakan untuk memecahkan permasalahan program linear adalah dengan menngunakan metode grafik. Hal ini bisa dilakukan dengan catatan bahwa, variable keputusan yang akan dicari solusinya hanya terdiri atas maksimal dua variable pilihan, meski begitu, jumlah batasan/kendala bisa lebih dari dua. Berikut ini disajikan permasalan optimasi untuk menhitung jumlah produksi maksimum.
Contoh 1 :
Suatu perusahaan menghasilkan dua jensi produk, yaitu produk 1 dan produk 2. Setiap produk membutuhkan sumber daya sesuai dengan table di bawah ini :
Sumber Daya Yang Tersedia | |||
Sumber daya | Produk 1 | Produk 2 | |
Bahan mentah | 1 | 2 | 10 |
Buruh | 6 | 6 | 36 |
Keuntungan/unit | 4 | 5 | |
Ada kendala lain dimana permintaan produk 1 di pasaran tidak akan melebihi 4 unit.
Langkah penyelesaian :
1. Buatkan model Linear Programming (LP), sehingga dari data di table dapat dituliskan model LP sebagai berikut :
Misalkan X1 adalah Produk 1, X2 adalah produk 2, maka
Fungsi tujuan : Z = 4X1 + 5X2
Batasan : X1 + 2X2 ≤ 10
6X1 + 6X2 ≤ 36
X1 ≤ 4
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0.
2. Ubah model LP yang ada pada langkah (1) dari bentuk kendala pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan linear, sehingga diperoleh
Fungsi tujuan : Z = 4X1 + 5X2
Batasan :
a. X1 + 2X2 ≤ 10 menjadi X1 + 2X2 = 10
Untuk X1 = 0 maka X2 = 5 sehingga diperoleh titik koordinat (0,5)
Untuk X2 = 0 maka X1 = 10 sehingga diperoleh titik koordinat (10,0)
b. 6X1 + 6X2 ≤ 36 menjadi 6X1 + 6X2 = 36
Untuk X1 = 0 maka X2 = 6 sehingga diperoleh titik koordinat (0,6)
Untuk X2 = 0 maka X1 = 6 sehingga diperoleh titik koordinat (6,0)
c. X1 ≤ 4 menjadi X1 = 4
3. Gambarkan grafik penyelesain model LP sesuai dengan batasan yang sudah diketahui titik koordinatnya, sehingga di peroleh
Daerah bersamaan yang ditunjukkan oleh area ABCDE merupakan solusi layak atau ruang solusi. Pada titk A, B disebut sebagai titik sudut yang membatasi daerah optimum (layak), atau disebut sebagai titik ekstrimnya. Titik ini diperoleh melalui perpotongan antara sumbu X1 dan X2. Titik esktrim ini penting untuk diperhatikan sebab dari sekian titik ekstrim akan menghasilkan penyelesaian yang optimal sesuai dengan permasalahan yang akan dipecahkan.
Pada metode grafik, untuk bisa menentukan salah satu titik ekstrim yang optimal, maka harus disesuaikan dengan fungsi tujuan yang ada. Berdasarkan ruang solusi, maka hrus ditentukan nilai titik (X1,X2) sehingga menunjukkan nilai paling baik terhadap fungsi tujuannya. Untuk itulah, fungsi tujuan harus digambarkan.
Misalkan kita tentukan nilai untuk fungsi tujuan (Z) secara acak, sehingga diperoleh, jika
Z1 = 10 = 4X1 + 5X2 diperoleh titik koordinat (0,2) untuk X1=0 dan (2.5, 0) untuk X2=0
Z2 = 20 = 4X1 + 5X2 diperoleh titik koordinat (0,4) untuk X1=0 dan (5, 0) untuk X2=0
Z3 = 25 = 4X1 + 5X2 diperoleh titik koordinat (0,5) untuk X1=0 dan (6.25, 0) untuk X2=0
Z4 = 40 = 4X1 + 5X2 diperoleh titik koordinat (0,8) untuk X1=0 dan (10, 0) untuk X2=0
Dan seterusnya.
Selanjutnya kita gambarkan grafik untuk fungsi tujuan tadi, sehingga diperoleh gambar sepeti di bawah ini
Hasil grafik menunjukkan bahwa Z4 > Z3 > Z2 > Z1, sehingga Z bukan nilai yang terbaik, karena fungsi tujuan dapat terjadi pada nilai yang lebih besar. Akan tetapi Z4, tidak bisa dikatakan optimal karena garisi ini tidak mengandung titik (X1,X2) yang memenuhi batasan yang ada.
Pada kasus ini, Z3 = 25 memiliki titik B (2,4) yang berada dalam ruang solusi dan lebih besar dari semua nilai Z lain yang memenuhi. Sehingga dapat dikatakan bawah nilai Z maksimum terjadi pada titik B.
REFERENSI :
[1] . David G. Luenberger and Yinyu Ye. Linear and Non Linear Programming, 3rd Edition. Springer, 2008.
[2] . Robert J. Vanderbei. Linear Programming : Foundation and Extention, 3rd Edition. Springer, 2008
[3] . Lianah. Modul Pembelajaran Matematika Bisnis : Programasi Linier. Universitas Mercu Buana Jakarta. 2008
0 komentar:
Posting Komentar