PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE ALJABAR

Contoh 1 :

Suatu perusahaan menghasilkan dua jensi produk, yaitu produk 1 dan produk 2. Setiap produk membutuhkan sumber daya sesuai dengan table di bawah ini :

			Sumber Daya Yang Tersedia
Sumber daya	Produk 1	Produk 2
Bahan mentah	1	2	10
Buruh	6	6	36
Keuntungan/unit	4	5

Ada kendala lain dimana permintaan produk 1 di pasaran tidak akan melebihi 4 unit.

Penyelesaian permasalahan LP dengan metode ini dengan melakukan pemerisakaan setiap tiitk ekstrim dalam daerah penyelesaian layak, kemudian memilih nilai ekstrim tersebut sesuai dengan tujuan yang diharapkan (maksimasi atau minimasi). Sama halnya dengan metode grafik, pada metode aljabar ini, variable keputusan hanya berlaku sebanyak dua variable.

Pada kasus Contoh 1 di atas, dapat diselesaikan dengan metoda aljabar. Untuk langkah penyelesaian awal, sampai dengan pembuatan grafik sama dengan metode grafik, sedangkan untuk mencari nilai titik optimal, maka nilai-nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan metode aljabar dimasukan ke dalam persamaan fungsi tujuannya.

Berdasarkan grafik yang ada, titik koordinat A memiliki nilai (0,5) dan titik D (4,0), sedangkan untuk titik koordinat dapat dicari dengan metode aljabar.

Untuk titik B yang merupakan pertemuan antara batasan 1 dan batasan 2, sehingga untuk nilai X₁ dan X₂ nya di peroleh sebagai berikut

X₁+ 2X₂   ≤ 10     menjadi à      X₁+ 2X₂         = 10

6X₁+ 6X₂ ≤ 36     menjadi à      6X₁+ 6X₂       = 36

Kalikan batasan pertama dengan 6, dan 1 untuk batasan kedua untuk menyamakan salah satu nilai konstanta variable X₁, sehingga diperoleh

X₁+ 2X₂   ≤ 10     menjadi à      X₁+ 2X₂         = 10     x6        à 6X₁ + 12X₂ = 60

6X₁+ 6X₂ ≤ 36     menjadi à      6X₁+ 6X₂       = 36     x1        à 6X₁ + 6X₂ = 36

6X₁+ 12X₂ = 60

6X₁+ 6X₂   = 36 -

          6X₂   = 26

            X₂   = 4

Substitusikan nilai yang X2 diperoleh ke dalam salah satu batasan untuk mencari nilai X1 (misal pada batasan pertama), sehingga diperoleh

X₁+ 2X₂   = 10

X₁+ 2.4     = 10

X₁              = 2

Sehingga diperoleh koordinat B (X₁,X₂) à (2,4)

Untuk titik C yang merupakan pertemuan antara batasan 2 dan batasan 3, sehingga untuk nilai X₁ dan X₂ nya di peroleh sebagai berikut

6X₁ + 6X₂ ≤ 36     menjadi à      6X₁+ 6X₂       = 36

X₁              ≤ 4       menjadi à      X₁                          = 4

Karena nilai X1 sudah diketahui sebesar 4, maka substitusikan nilai X1 kedalam batasan ke dua, sehingga diperoleh

6X₁ + 6X₂ = 36

6.4 + 6X₂  = 36

   6X₂  = 36 – 24

   6X₂  = 12

    X₂    = 2

Sehingga diperoleh koordinat untuk C (X₁,X₂) à (4,2)

Langkah selanjutnya adalah memasukan nilai-nilai dari titik X1 dan X2 yang telah diperoleh ke dalam gungsi tujuannya, sehingga mendapatkan titik maksimum. Berikut hasil perhitungannya :

Titik A (0,5) maka 4X₁+  5X₂ adalah = 25

Titik B (2,4) maka 4X₁+  5X₂ adalah = 28

Titik C (4,2) maka 4X₁+  5X₂ adalah = 26

Titik D (4,0) maka 4X₁+  5X₂ adalah = 16

Dengan demikian, nilai optimal terjadi pada titik B yang mempunyai nilai tertinggi, sehingga untuk memperoleh hasil produksi maksimum, sebaiknya membuat produk 1 sebagnya 2 unit dan produk 2 sebanyak 4 unit untuk memperoleh keuntungan maksimum.

REFERENSI :

[1] .      David G. Luenberger and Yinyu Ye. Linear and Non Linear Programming, 3rd Edition. Springer, 2008.

[2] .      Robert J. Vanderbei. Linear Programming : Foundation and Extention, 3rd Edition. Springer, 2008

[3] .      Lianah. Modul Pembelajaran Matematika Bisnis : Programasi Linier. Universitas Mercu Buana Jakarta. 2008